中学生

【中学数学】証明問題の苦手を克服するための根本的な方法【元塾教室長が解説!】

2023年5月6日

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証明 proof

こんにちは。エデュサポ(@edsuppor)です。

 

子どもが数学の証明問題が全然わからないと言っています。どのように対策をすれば良いでしょうか。

うちの子は数学の証明問題にまったく手がつけられないようです。どうすれば証明を書けるようになるでしょうか。

 

数学の証明問題を苦手とする子どもは多いです。

他の単元とは性質がまったく異なるので、どのように対策させれば良いのかと悩まれている保護者の方も多いです。

結論

「解き方」や「書き方」を覚えても証明問題の苦手は克服できません。

根本的な「考え方」を変える必要があります。

 

今回は、中学数学における証明問題の苦手を克服する方法を解説します。

私は以前、塾講師の仕事をしていました。

集団塾と個別指導塾で講師と教室長を務め、オンライン教育系の塾運営の仕事をしていた時期もあります。

かれこれ20年以上、塾業界で働きました。

これまでの経験を基にお話します。

最後まで読んでいただき、お子様が数学の証明問題を解けるようにするための参考としていただければとてもうれしいです。

数学の証明問題を捨てるべきではない理由

必要不必要

子ども
証明問題全然わからないんで捨てます!

 

数学の証明問題がわからなすぎて、丸々捨ててしまう子どももいます。

確かに、受験のことを考えるのであれば、数学の証明問題を捨てるという戦略を取ることは可能です。

ですが、長い目で見るならば証明問題を捨てるべきではありません

理由は主に3つあります。

 

一つひとつ解説します。

理由1 高校入試で出題されるから

受験

数学の証明問題を捨てるべきでない理由は、高校入試で出題されるからです。

公立高校の入試問題では、数学の証明問題はほぼ必ず出題されます。

配点も数学全体の5%~10%と、高めに設定されていることが多いです。

 

高校入試なら証明問題を捨てる戦略も可能

高校入試に注目するのであれば、数学の証明問題を捨てるという戦略を取ることは可能です。

入試は100点満点を目指すゲームではないからです。

数学の証明問題で取れない分の点数を、他の問題や他の教科で取れるようにすれば良いだけです。

また、私立高校では数学の証明問題が出題されない高校も多いです。

数学の証明問題で得点できなくても、志望する高校に合格することはできます。

 

大学入試では数学なしでも乗り切れる

大学入試は、数学なしで乗り切ることもできます

私立大学の文系学部は、数学の試験なしで受験できるものも多いからです。

私立大学の文系学部では、英語・国語・社会の3教科で受験できるところが多いです。

国公立大学では、文系の学部でも共通テスト(旧センター試験)で数学が必要になることが多いですが、共通テストでは基本的に証明問題は出題されません。

ですので、証明問題ができなくても、大学受験も乗り切ることができます。

そして、大学受験を終えてしまえば、数学の証明問題を解かなければならないという場面に出くわすことはまずありません。

それでも、数学の証明問題を捨ててほしくありません

理由2 論理的思考・説明の基礎だから

思考力

数学の証明問題は、論理的思考や論理的説明の基礎です。

証明問題は、ある結論を導き出す過程を、相手がわかるように論理的に説明していく問題だからです。

世の中には、説明が上手な人がいます。

その人の説明を聞くと、「なるほど!そういうことか!」と納得できてしまいます。

それは、その人が論理的に説明することが上手だからです。

 

相手を納得させる力は一生大事

大人になると、相手を納得させる必要がある場面に出会うことも多いです。

ビジネスシーンで特に多いですが、親戚や家族や友人等との間の日常的なシーンでも、相手に納得してもらいたい場面は多いです。

数学の証明問題を練習することで、自分の考えをまとめて、その考えを相手が納得できるように正確に伝えることができるようになります。

なお、私が書いているこの記事も、「証明問題大事!頑張ってほしい!」という私の考えを、論理的に説明しようと思って書いています。

 

論理的な説明は最低条件

論理的な説明ができれば相手がいつでも納得してくれるわけではありません。

人は論理だけで意思決定をしているわけではないからです。

話の面白さだったり、口調だったり、感情だったり、いろいろな要素が絡まり合っています。

ですが、論理が破綻していては相手に納得してもらうことはできません。

論理的な説明は、相手に納得してもらうための最低条件です。

 

論理的思考力も鍛えられる

相手に論理的に説明することで、自分の論理的思考力が鍛えられます

相手に説明するためには、まずは自分の頭の中で論理を組み立てなければならないからです。

勉強は、授業を受けるだけではなくて、自分が授業をして説明してみると良いとも言われます。

論理的に説明することで、論理的な思考力を育てることができます。

理由3 抽象的な考え方の基礎だから

抽象的

算数から数学に変わってどんどん難しくなると感じる理由の一つは、考えることが抽象的になってくるからです。

数学の証明問題の練習に取り組むと、物事を抽象化して考える力がつきます。

算数の時は「100円のりんごが3個あります。」のように、頭の中に具体的にイメージできる問題が多かったと思います。

しかし、数学になると「x円のりんごがy個あります。」のように抽象化してしまい、頭の中に具体的なイメージを描くことができなくなります。

抽象的

数学は、考えることが抽象的になればなれほど難しく感じます。

 

証明は一般化が基本

数学の証明問題では、物事を抽象化・一般化して考えるのが基本です。

一般化したほうが簡単に証明できるからです。

たとえば、「偶数と偶数を足し算すると、答えは必ず偶数になる」ということを証明することを考えてみましょう。

具体的に偶数と偶数を足し算してみると、「2+4=6」「6+8=14」「18+64=82」「102+1822=1924」「(-24)+(+18)=-6」と、確かに答えは必ず偶数になります。

しかし、これでは一個一個計算しなければなりませんし、全ての偶数の組み合わせで必ず答えが偶数になるか永遠に確かめなければならないので大変です。

これを抽象化・一般化して、2つの偶数を2nと2m(nとmはどちらも整数)にしてしまいます。

2nと2mは、nやmにどんな整数を入れても偶数になります。

たとえば、2nのnに6を入れると、「2×6=12」で偶数になります。

このように偶数を一般化してしまえば、1回の計算ですべての偶数の組み合わせを足し算することができて簡単です。

 

抽象化・一般化できると数学を得意にできる

物事を抽象化・一般化して考えることができるかどうかが、数学を得意にできるかどうかの分かれ道です。

抽象的なことを考える力が育つほど、数学の難しい問題も理解できるようになるからです。

そして、この抽象的な事を考える力を育てることは、他のいろいろなことを理解できるようにすることにつながります。

抽象的なことを考えられるようになるほど、多くのことを考えることができるようになるからです。

数学の証明問題にしっかりと向き合うことで、大人になっても一生活用できる思考力を育てることができます

数学の証明問題の苦手を克服するためのステップ

ステップアップ

ここからは、数学の証明問題の苦手を克服する10のステップを紹介します。

証明問題の何もかもがわからなくて手を付けられない状態から、証明問題が得意になるためのロードマップです。

少しスッテプが多いですが、無理のないところから無理のないペースで一つひとつ取り組んでいけば、必ず証明問題を得意にすることができます。

頑張ってください!

 

一つひとつ解説します。

ステップ1 普段から順序立てて説明するクセをつける

説明

数学の証明問題の苦手を克服するための第一歩は、普段から誰かに物事を順序立てて説明するクセをつけることです。

「証明」は「説明」でもあるからです。

「〇〇を証明せよ。」という問題は、言い換えれば「なぜ〇〇になるのか、私がわかるように説明してください。」です。

普段から、「どのように説明すれば相手に正しく伝えることができるのか」を考えるようにすることが大切です。

 

身近で些細な事でも

説明することは、身近で些細な事であるほうが良いです。

「今日の部活、なんでそんなにキツかったの?」でも、「田中くんと山田くんってなんでケンカしちゃってるの?」でも、「なんで今日はそんなに機嫌がいいの?」でも良いです。

逆に、「なんで戦争はなくならないと思う?」や、「どうして日本の競争力は低下しているんだろう?」では、説明のレベルが高すぎますし、そもそも子どもが説明したがらないでしょう。

また、「なんで英語の成績が下がってるの?」や、「なんで今日は遅刻したの?」では詰問になってしまい、説明することにネガティブなイメージを与えてしまいます。

身近で些細でボジティブな事からはじめるのがポイントです。

 

説明をじっくり聞く・じっくり待つ

子どもが説明しているときは、保護者はじっくりと聞いてあげることが大切です。

相手がちゃんと聞いていないと知ると、子どもは説明することをやめてしまうからです。

また、子どもがしばらく黙ってしまっても、じっくりと待ってあげることも大切です。

黙ってしまっている時間は、どうやって説明すれば良いか、子どもが頭の中で考えている時間です。

すぐに助け舟を出してしまうと、子どもが考える機会を奪ってしまうことになります。

また、先を急がせて焦らせてしまうと、子どもは説明することを諦めるようになってしまいます。

ステップ2 三角形の合同の証明から練習する

三角形 おにぎり

実際の数学の証明問題の練習は、三角形の合同を証明する問題から取り組むことをおすすめします

三角形の合同の証明問題が、一番具体的にイメージしやすく、一番パターン化しやすい問題だからです。

学校の授業の順序としては、文字式による証明を先に勉強するのですが、文字式による証明は抽象的な概念が多く、数学が苦手な中学生には難しいです。

その点、三角形は具体的に目に見える物なので、数学が苦手な中学生にも理解しやすいです。

ステップ3 図形の性質の知識をつける

図形 作図

三角形の合同の証明に取り組む前に、まずは最低限の図形の性質の知識を復習してください

知識がなければ、相手に説明することは不可能だからです。

三角形の合同の証明に取り組むのであれば、次の内容は最低限知っておくようにしてください。

必要な知識

  • 三角形の合同条件
  • 三角形の特徴
  • 「平行」「垂直」などの図形の基本知識
  • 「三角形の内角の和」「対頂角」「同位角」「錯覚」等の角度の性質

 

「用語」と「意味」はセットで理解

「用語」を覚える時は、その用語の「意味」もセットで覚えなければなりません

言葉を覚えても、その言葉の意味を覚えなければ実際に使うことができないからです。

 

子ども
三角形の合同条件わかります!「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」です!

 

うんうん、そうだね。じゃあ、その「2組の辺とその間の角」って、この三角形での中ではどこのことだろう。
エデュサポ

 

子ども
わかりません!

 

三角形の合同条件は、先生に「覚えなさい」と言われますし、テストで書かされたりしますので、子どもたちも頑張って覚えようとします。

しかし、字面だけを覚えて、言葉が何を意味しているのかを理解しようとしていない子どもは非常に多いです。

これでは、実際に数学の証明問題を解くときに活用することはできません。

「用語」は、「意味」とセットで理解しなければ意味がありません。

ステップ4 口頭で説明できるようにする

会話 対話

証明問題の演習に取り組むときは、いきなり証明を書きはじめるのではなく、まずは口頭で説明できるようにしましょう

繰り返しになりますが、「証明」は「説明」でもあるからです。

「パターン」や「証明の書き方の型」から覚えようとする中学生は多いですが、「パターン」や「型」から入ってしまうと、自分が何をやっているのかわからないままに取り組み続けてしまうことが多いです。

この状態で勉強を続けても、証明問題は永遠に解けるようになりません。

自分が理解していなければ、相手に説明することはできないからです。

テクニックで表面上は問題を解けるようにしても、本質的な理解ができていなければ、証明問題の苦手を克服することはできません。

証明のルールや型はあとで覚えれば良いので、まずは「相手が納得できるように説明する」という意識を持てるようにしましょう

 

グダグダでもジェスチャーでも良い

証明問題を口頭で説明するときは、説明がグダグダになってしまっても、ジェスチャーを使ってしまっても良いです。

実際に図形を指さしながら、「こことここが同じでー」のように、指示語で説明しても問題ありません。

相手が納得できるように説明できるようになれば、正しい表現の方法や書き方のルールはあとから覚えれば問題ないからです。

相手が納得できるように、論理立てて説明できるようになることが一番大切です。

 

理由を説明するクセをつける

証明問題を口頭で説明する練習をするときは、必ず理由も説明するクセをつけるようにしてください

理由を言わなければ、相手を納得させることはできないからです。

ちなみに、上の2文も「結論→理由」の順番になっていて、理由を書いています。

「この長さとこの長さが同じでー」というだけでなくて、「ここに二等辺三角形があるからここの長さとここの長さが同じでー」のように、理由も説明するクセをつけてください。

ステップ5 書き方のルールを覚える

ルール

口頭での説明ができるようになってきたら、次は証明の書き方のルールを覚えていきます

証明の書き方のルールを覚えると、より一層相手に正確に説明を伝えることができるからです。

口頭では「ここに二等辺三角形があるからここの長さとここの長さが同じでー」と説明していたものを、「△DEFは二等辺三角形より、DE=DF」のように、ルールに従って書けるようにしていきます。

書き方のルールはいきなり全部覚えようとする必要はありません。

練習問題を解きながら、少しずつ覚えていくほうが現実的です。

 

間違えながら覚える

証明の書き方は比較的自由で、書く人によって解答が異なります。

ただ、絶対に守らなければならないルールも多く存在します。

いきなり全部をできるようにするのは難しいので、練習問題を解きながら、間違えながら覚えていくのが良いです。

間違えることも、大切な練習です。

 

書き方をパクる

数学の証明の書き方は、練習問題を解きながら、他の人の書き方をパクっていくと良いです。

問題集の解説にわかりやすい書き方があれば、それをパクって書いてみると良いです。

先生の板書にかっこいい表現があれば、それをパクって使ってみると良いです。

私は厨二病(中二病)だったので、「ゆえに」や「したがって」や「同様にして」という表現が好きで積極的に使っていました。

いろいろな人の証明をパクりながら、書き方のルールや型を覚えていくと良いです。

ステップ6 証明の型にあてはめて書いてみる

パターン 変わらない

数学の証明問題を口頭で説明して、書き方のルールをある程度覚えたら、今度は実際に証明の「型」にあてはめて書いてみましょう

数学の証明は、実際に自分で書いてみなければ自力で書けるようにはならないからです。

三角形の合同の証明問題は特に「型」に当てはめやすいので、証明問題が苦手な子どもにはハードルが低いです。

三角形の合同の証明の型は、具体的には次のようになっています。

三角形の合同の証明の型

  • 見比べる2つの三角形を紹介する
  • 合同である根拠を示すために、等しい辺や角を書く
  • 利用した合同条件を書く
  • 結論を書く

 

三角形の合同の証明

 

最初は難しい問題に取り組む必要はないので、基本の型で書ける基礎的な証明問題を完璧に書けるようにしましょう。

ステップ7 証明問題をたくさん解いてみる(穴埋め問題でも全部記述する)

問題集

数学の証明の書き方のルールや、三角形の合同の証明の型を理解したら、証明問題をたくさん解きましょう。

たくさん練習することで、頭に定着させることができるからです。

問題を解くときに気をつけるポイントは3つです。

気をつけるポイント

  • 基礎問題ばかり解く
  • とにかくたくさん解く
  • 穴埋め問題でも全部記述する

 

数学の証明問題は最初は穴埋め問題になっていると思いますが、最初から最後までノートに書き写しながら問題を解いてください

穴埋めだけでは、証明のルールや書き方の型を覚えられないからです。

最初は、証明のルールや書き方の型を頭に叩き込むことが大切です。

基礎問題を、とにかくたくさん、最初から最後まで書いて練習してください。

ステップ8 他のタイプの図形の証明問題に挑戦する

タイプ

三角形の合同の証明問題を自分の力だけで解けるようになったら、他のタイプの図形の証明問題にも挑戦してみましょう

三角形の合同の証明問題が頭にしっかりと入っていれば、他の問題が急に簡単に感じるはずです。

ここまでの練習で、証明問題の考え方の基礎をしっかりマスターしてきたからです。

ここからはいろいろなタイプの問題に挑戦して、考え方や書き方の知識を増やしていきましょう。

ステップ9 文字式の証明問題に挑戦する

トライ 挑戦

図形の証明問題が解けるようになってきたら、文字式の証明問題に挑戦してみましょう

図形の証明問題の練習を通して証明の基本がしっかりとマスターできていれば、文字式のような抽象的な証明問題も解くことができるようになります。

今まで理解できなかったのは、「抽象的な概念がわからない」と「証明問題全然わからない」の2つが混ざってしまっていたからです。

証明問題の考え方が理解できていれば、「抽象的な概念」について考えることに集中することができます。

最初は少し難しいかもしれませんが、どんどん挑戦してできるようにしていってください。

ステップ10 他の勉強も証明問題と同じように取り組む

机と勉強

数学の証明問題が解けるようになってきたら、他の勉強でも同じように考えてみるクセをつけていきましょう

数学の証明のような論理的な考え方で勉強していくと、知識だけに頼らない力をつけていけるからです。

数学に限らず、他の教科でも「論理的に考えて、相手が納得できるように論理的に説明できるようにする」ことを意識して勉強に取り組めば、学力は驚くほど上がります。

道のりは長いですが、一歩一歩頑張って取り組んでほしいです。

数学の証明問題の苦手克服に活用できるもの

活用

ここからは、数学の証明問題の苦手を克服するためにおすすめの教材や学習サービスを紹介していきます。

数学の証明問題は記述問題なので、子どもが自分だけの力で苦手を克服するのは非常に難しいです。

記述問題は解く人によって書き方が異なるので、自分で正解かどうかの判断をするのが難しいからです。

次の2つを上手に組み合わせて活用することをおすすめします。

 

一つひとつ解説します。

学校や塾

学習塾

数学の証明問題の苦手克服には、学校や塾を活用するのが一番おすすめです。

正確には、学校や塾の先生にお願いできると一番心強いです。

証明問題の苦手克服には、相手に口頭で説明したり、証明のルールや書き方の型が合っているかどうかチェックしてもらったりと、双方向のやり取りが頻繁に必要になるからです。

一方で、学校や塾の先生もずっと一人の生徒につきっきりでいるわけにもいきません。

長時間ずっと教えてもらうのは難しいです。

「自分で取り組むべき所」と「先生と一緒に取り組むべき所」を切り分けて、必要な所を集中して先生に教えてもらえるようにすると効率的です。

 

数学専門塾・数強塾



数学専門塾・数強塾は、オンラインで授業を受けられる、数学特化の個別指導塾・家庭教師サービスです。

プロ講師による質の高い授業で数学の本質的な理解を目指していくので、数学の苦手克服から受験対策まで幅広く利用することができます。

マンツーマン指導なので、子どもの学習状況に合わせてカリキュラムを組んでもらえます。

一方で、マンツーマン指導なので授業料は安くありません。

手厚いサポートを受けながら数学を対策したい子どもに特におすすめです。

数強塾
料金 中学3年生
1コマ40分~60分

  • 週1回 20,900円/月
  • 週2回 33,000円/月
  • 週3回 45,100円/月
  • 入塾金 16,500円
おすすめポイント
  • 数学に特化
  • オンライン・マンツーマン授業
  • プロ講師による質の高い授業
  • 個別カリキュラム
体験

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※数学特化のマンツーマン授業

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参考書・問題集

問題集

数学の証明問題の苦手克服には、参考書や問題集も活用すると良いです。

自分で取り組める所は、参考書や問題集で取り組んだほうが効果が高いです。

参考書や問題集であれば、先生に教えてもらうときとは異なり、好きなだけ時間をかけて取り組むことができるからです。

一方で、先生と双方向のやり取りをしなければ難しいことも多いです。

どちらも上手に利用していくことが大切です。

 

中2数学の図形の証明―定期テストに自信がもてる! (これでだいじょうぶ!シリーズ)

中2数学の図形の証明―定期テストに自信がもてる! (これでだいじょうぶ!シリーズ)は、図形の証明問題を基礎の基礎から練習できる問題集です。

いきなり証明問題から入るのではなく、図形の性質の知識の確認から取り組むことができます。

問題構成や解説も「手取り足取り」という形で、数学の証明問題が本当に苦手な子どもに特におすすめです。

まとめ

それでは、中学数学における証明問題の苦手を克服する方法をまとめます。

結論

「解き方」や「書き方」を覚えても証明問題の苦手は克服できません。

根本的な「考え方」を変える必要があります。

 

数学の証明問題がわからなすぎて、丸々捨ててしまう子どももいます。

確かに、受験のことを考えるのであれば、数学の証明問題を捨てるという戦略を取ることは可能ですが、長い目で見るならば証明問題を捨てるべきではありません。

理由は主に3つあります。

証明問題を捨てるべきでない理由

  • 高校入試で出題されるから
  • 論理的思考・説明の基礎だから
  • 抽象的な考え方の基礎だから

 

数学の証明問題の苦手を克服するステップは、10ステップスです。

証明問題の10ステップス

  • 普段から順序立てて説明するクセをつける
  • 三角形の合同の証明から練習する
  • 図形の性質の知識をつける
  • 口頭で説明できるようにする
  • 書き方のルールを覚える
  • 証明の型にあてはめて書いてみる
  • 証明問題をたくさん解いてみる(穴埋め問題でも全部記述する)
  • 他のタイプの図形の証明問題に挑戦する
  • 文字式の証明問題に挑戦する
  • 他の勉強も証明問題と同じように取り組む

 

少しスッテプが多いですが、無理のないところから無理のないペースで一つひとつ取り組んでいけば、必ず証明問題を得意にすることができます。

頑張ってください!

数学の証明問題の苦手を克服するためにおすすめの教材や学習サービスも紹介しました。

次の2つを上手に組み合わせて活用することをおすすめします。

 

今回の記事が、お子様が数学の証明問題を解けるようになるきっかけとなればとてもうれしいです。

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